Highest Common Factor & Least Common Multiple

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণণীয়ক ও লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Highest Common Factor & Least Common Multiple)



1. গ.সা.গু (Highest Common Factor) কাকে বলে ?

উঃ দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক বা উৎপাদকটিকে সেই সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা সংক্ষেপে গ.সা.গু বলা হয় ।
যেমনঃ 15 ও 24 এর গুণনীয়ক গুলি হলঃ 15 = 1, 3, 5 ও 15 এবং 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ও 24

15 ও 24 এর সাধারণ গুণনীয়ক (যে গুণনীয়ক বা উৎপাদক গুলি দুটির মধ্যেই রয়েছে) গুলি হলঃ 1 ও 3

15 ও 24 এর সাধারণ গুণনীয়ক (1 ও 3) গুলির মধ্যে বড়ো হলঃ 3

∴ 15 ও 24 এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু হলঃ 3

2. গুণনীয়ক (Factor) কী ?

উঃ কোনো সংখ্যা যে যে সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, সেই সংখ্যাগুলোকেই ঐ সংখ্যার গুণনীয়ক বলে।
যেমনঃ 15 সংখ্যাটি 1, 3, 5 ও 15 দ্বারা সম্পূর্ণ রূপে বিভাজ্য অর্থাৎ 15 কে ঐ সংখ্যাগুলি দিয়ে ভাগ করলে কোনরূপ ভাগশেষ থাকে না । তাই 1, 3, 5 ও 15 সংখ্যাগুলি 15 এর এক একটি গুণনীয়ক ।

3. সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক (Common Factor Or Common Divisor) বলতে কী বোঝায় ?
উঃ দুই বা ততোধিক সংখ্যার নির্ণীত গুণনীয়কগুলির মধ্যে যে
গুণনীয়ক বা গুণনীয়কগুলি দ্বারা ঐ সংখ্যাগুচ্ছের একেকটি সংখ্যা সম্পূর্ণরুপে বিভাজিত হয় তাদের সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক বলা হয় ।
যেমনঃ 15 ও 24 এর গুণনীয়ক গুলি হলঃ 15 = 1, 3, 5 ও 15 এবং 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ও 24
এখানে নির্ণীত 15 এর চারটি গুণনীয়ক বা উৎপাদক এর মধ্যে 1 ও 3 দ্বারা এবং 24 এর আট টি গুণনীয়ক বা উৎপাদক এর মধ্যে 1 ও 3 দ্বারা 15 এবং 24 উভয়কেই সম্পূর্ণরুপে ভাগ করা যায় । তাই 1 ও 3 হল 15 ও 24 এর সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক ।

4. গুণনীয়ক কয় প্রকার ?
উঃ গুণনীয়ক মূলতঃ তিন প্রকার, যথাঃ i) প্রকৃত গুণনীয়ক, ii) মৌলিক গুণনীয়ক এবং iii) যৌগিক বা কৃত্রিম গুণনীয়ক ।

5. প্রকৃত গুণনীয়ক বলতে কী বোঝায় ?
উঃ কোন সংখ্যার নির্ণীত গুণনীয়কের মধ্যে 1 ও সেই সংখ্যা ছাড়া বাকি সমস্ত গুণনীয়কগুলিকে প্রকৃত গুণনীয়ক বলা হয় ।
যেমনঃ 15 এর নির্ণীত গুণনীয়ক গুলি হলঃ 15 = 1, 3, 5 ও 15
এই গুণনীয়কগুলির মধ্যে 1 ও সেই সংখ্যা অর্থাৎ 15 ছাড়া বাকি গুণনীয়কগুলি, অর্থাৎ 3 ও 5 হল 15 সংখ্যাটির প্রকৃত গুণনীয়ক ।

6. মৌলিক গুণনীয়ক বলতে কী বোঝায় ?
উঃ যে সংখ্যা 1 ও সেই সংখ্যা ছাড়া সম্পূর্ণরূপে বিভাজিত হয় না সেই সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়ক বলে ।
যেমনঃ 7, 11, 13 ইত্যাদি সংখ্যাগুলি 1 এবং ঐ সংখ্যা অর্থাৎ 7, 11, 13 দ্বারাই সম্পূর্ণরূপে বিভাজিত হয় তাই অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থেকে যায় । তাই এই সংখ্যাগুলি এক একটি মৌলিক গুণনীয়ক ।

7. যৌগিক বা কৃত্রিম গুণনীয়ক বলতে কী বোঝায় ?
উঃ যে সংখ্যার দুই এর অধিক গুণনীয়ক থাকে সেই সংখ্যাগুলিকে যৌগিক বা কৃত্রিম গুণনীয়ক বলা হয়।

8. মৌলিক সংখ্যা বলতে কী বোঝায় ?

উঃ 1 এর থেকে বড় যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা কেবলমাত্র 1 এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমনঃ 2, 3, 5, 7 এই সংখ্যাগুলি 1 এবং ঐ সংখ্যাদ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য তাই সংখ্যাগুলি এক একটি মৌলিক সংখ্যা ।

9. পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বলতে কী বোঝায় ?
উঃ যখন কোন দুটি সংখ্যার মধ্যে 1 ছাড়া আর অন্য কোন সাধারণ গুণনীয়ক থাকে না তখন সেই সংখ্যাদুটিকে পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বলা হয় ।
যেমনঃ 7 ও 11 এই দুটি সংখ্যার মধ্যে 1 ছাড়া আর অন্য কোন সাধারণ গুণনীয়ক থাকে না, তাই সংখ্যাদুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা ।

10. গ.সা.গু নির্ণয়ের কয়টি পদ্ধতি রয়েছে ?
উঃ গ.সা.গু নির্ণয়ের তিনটি পদ্ধতি রয়েছে, এগুলি হলঃ i) পর্যবেক্ষণ পদ্ধতি, ii) মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি এবং iii) ইউক্লিডিয় পদ্ধতি ।

11. গ.সা.গু নির্ণয়ের পর্যবেক্ষণ পদ্ধতি বলতে কী বোঝায় ?
উঃ যে পদ্ধতিতে কোন সংখ্যাগুচ্ছের গুণনীয়ক নির্ণয় করার সময় এক একটি সংখ্যাকে ভাগের সাহায্য নেওয়া হয় এবং তার ফলে উৎপন্ন গুণনীয়কগুলি পর্যবেক্ষণ করে সাধারণ গুণনীয়ক চিহ্নিত করে গ.সা.গু নির্ণয় করা হয়, সেই পদ্ধতিকে বলা হয় গ.সা.গু নির্ণয়ের পর্যবেক্ষণ পদ্ধতি ।

একটি উদাহরণের সাহায্যে বিষয়টি স্পষ্ট করা যেতে পারে ।

যেমনঃ 6, 12 ও 18 এর পর্যবেক্ষণ পদ্ধতিতে গ.সা.গু নির্ণয় ।
পর্যবেক্ষণ পদ্ধতিতে গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য প্রথমে 6, 12 ও 18 এর গুণনীয়কগুলি নির্ণয়ের জন্য সংখ্যাগুলিকে আলাদা আলাদা ভাবে ভাগ করতে হবে –
যথাঃ
6 = 6÷1
6 = 6÷2
6 = 6÷3
6 = 6÷6
অর্থাৎ 6 এর নির্ণীত গুণনীয়কগুলি হলঃ 1, 2, 3 ও 6
অনুরূপভাবে,
12 = 12÷1
12 = 12÷2
12 = 12÷3
12 = 12÷4
12 = 12÷6
12 = 12÷12
12 এর নির্ণীত গুণনীয়কগুলি হলঃ 1, 2, 3, 4, 6 ও 12
এবং
18 = 18÷1
18 = 18÷2
18 = 18÷3
18 = 18÷6
18 = 18÷9
18 = 18÷18
12 এর নির্ণীত গুণনীয়কগুলি হলঃ 1, 2, 3, 6, 9 ও 18
এবার সমস্ত নির্ণীত গুণনীয়কগুলি পর্যবেক্ষণ করে এদের মধ্যে সাধারণ গুণনীয়কগুলি চিহ্নিত করতে হবে ।

চিহ্নিত সাধারণ গুণনীয়কগুলি হলঃ 1, 2, 3 ও 6 (যা সকলের মধ্যেই রয়েছে) ।
এবার এই সংখ্যা বা গুণিতকগুলি পর্যবেক্ষণ করে তা থেকে বড় সংখ্যাটি চিহ্নিত করতে হবে ।
এখানে বড় সংখ্যাটি হলঃ 6

∴ পর্যবেক্ষণ পদ্ধতিতে 6, 12 ও 18 এর নির্ণীত গ.সা.গু হলঃ 6


MGI_TET_ONLINE_COACHING
সহজ_ভাবে_TET_সমাধান
*******************************

বর্তমান শিক্ষকতার পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার প্রথম শর্ত TET উত্তীর্ণ হওয়া । তাই সঠিক পদ্ধতিতে, নিয়মিতভাবে TET এর জন্য বিভিন্ন বিষয়ের টপিক ভিত্তিক প্রস্তুতি খুবই প্রয়োজন । nMCQ নয়, প্রতিটি TOPIC এর গভীরে গিয়ে নিজেকে তথ্যসমৃদ্ধ করতে পারলে যেকোন MCQ সমাধান সম্ভব হবে । তাই টপিক ভিত্তিক সম্পূর্ণ তথ্যসমৃদ্ধভাবে MGI_TET_ONLINE_COACHING এর কোর্সগুলি সাজানো রয়েছে । সময়ের অভাবে যারা বাড়িতে থেকে বা কর্ম ক্ষেত্র থেকে নিজেদের প্রস্তুতি সচল রাখতে চান তাদের জন্য আদর্শ এই কোর্সগুলি । তাই আপনার প্রস্তুতিকে সঠিকভাবে পরিচালিত করতে প্রয়োজন অনুযায়ী MGI এর সময় সাশ্রয়ী এবং অর্থ সাশ্রয়ী নিম্নলিখিত অনলাইন কোর্সগুলিতে যুক্ত হতে পারেন ।

#প্রতিটি_কোর্সে সংশ্লিষ্ট বিষয় গুলির #PEDAGOGY এবং প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রে #CONTENT এর বিস্তারিত তথ্য একসাথেই রয়েছে । তাই অর্ধেক নয় #PEDAGOGY_ও_CONTENT এর সমন্বয়ে স্বয়ং সম্পূর্ণ কোর্সগুলি আপনার প্রস্তুতির আদর্শ । #আবার নিয়মিতভাবে বাড়িতে বসেই একটু একটু ভাবে এগিয়ে যাওয়ার Blueprint থাকবে আপনার হাতের মুঠোয়, যা আপনাকে বইমূখী করে তুলবে । #তাই_আর_দেরি_নয় ……….

মিশন জিওগ্রাফি ইন্ডিয়ার সাথে থেকে প্রস্তুতির জন্য সত্বর নিচের লিঙ্কে ক্লিক করে মেম্বারশিপ গ্রহণ করুনঃ

MGI PRIMARY TET ONLINE COACHING :-


MGI UPPER PRIMARY (#Social Studies) TET ONLINE COACHING 


MGI PRIME TET (#SLST social studies) ONLINE COACHING ⇓⇓⇓⇓


MGI ALL TET (Primary, Upper Primary & SLST) ONLINE_COACHING 

সঙ্গে থাকছে MISSION GEOGRAPHY INDIA প্রকাশিত সমস্ত ইবুক #বিনামূল্যে সংগ্রহের সুযোগ

বিশদে জানতে : 8640890159 নম্বরে যোগাযোগ করুন ।


12. গ.সা.গু নির্ণয়ের মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি বলতে কী বোঝায় ?
উঃ গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য যখন উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি অনুসরণ করে দুই বা ততোধিক সংখ্যার গুণিতক নির্ণয় করে তাদের থেকে বড় সংখ্যা নির্বাচন করা হয় তখন তাকে গ.সা.গু নির্ণয়ের মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি বলা হয় ।

যেমনঃ 15 ও 24 এর গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য নিম্নের ছবি অনুযায়ী সংখ্যাদুটি কে সাজিয়ে এমন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে যা দ্বারা দুটি সংখ্যাকেই ভাগ করা যায় ।

এখানে 8 ও 5 কে কোন একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা সম্ভব নয় এবং 15 ও 24 কে শুধুমাত্র 3 দ্বারা ভাগ করা সম্ভব হয়েছে । অর্থাৎ 15 ও 24 এর সাধারণ গুণনীয়ক 3 এবং এটিই বড় তাই 15 ও 24 এর নির্ণেয় গ.সা.গু হলঃ 3

 

13. গ.সা.গু নির্ণয়ের ইউক্লিডিয় পদ্ধতি (Euclidean Method) বলতে কী বোঝায় ?
উঃ দুটি সংখ্যার গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য যখন ভাগ পদ্ধতি অনুসরণ করে প্রথমে ছোট সংখ্যাটিকে ভাজক এবং বড় সংখ্যাটিকে ভাজ্য হিসাবে নিয়ে একবার ভাগ করার পর, পরবর্তী সময়ে ভাগশেষটিকেই ভাজক হিসাবে ব্যবহার করে প্রথমে যে সংখ্যাটি ভাজ্য হিসাবে ব্যবহার করা হয়েছিল সেটিকে এবার ভাজক হিসাবে ব্যবহার করে আবার ভাগ করতে হবে । এভাবেই পদ্ধতিটিকে ভাগশেষ রহিত অবস্থায় সম্পূর্ণ করে শেষ ভাজককে উৎপাদক হিসাবে গ্রহণ করা হয় তখন সেই পদ্ধতিকে বলা হয় গ.সা.গু নির্ণয়ের ইউক্লিডিয় পদ্ধতি ।

সহজভাবে কয়েকটি ধাপে বিষয়টি উল্লেখ করা যায়,

যেমনঃ 15 ও 24 এর গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য ইউক্লিডিয় পদ্ধতি অনুসরণ করলে ।
i) ছোট সংখ্যাটি (15) কে ভাজক এবং বড় সংখ্যাটি (24) কে ভাজ্য হিসাবে ধরে ভাগ করতে হবে ।
ii) এর ফলে প্রথম ভাগশেষ থাকবে 9
iii) এবার এই ভাগশেষ কে ভাজক এবং প্রথমে যে সংখ্যা (15) টি ভাজ্য হিসাবে ব্যবহার করা হয়েছিল সেটিকে এবার ভাজক হিসাবে ব্যবহার করে আবার ভাগ করতে হবে ।

iii) যতক্ষণ না ভাগশেষ শূন্য হচ্ছে ততক্ষণ এভাবেই চলতে থাকবে ।

iv) যে পর্যায়ে ভাগশেষ শূন্য হবে সেই পর্যায়ের ভাজকই হল সংখ্যাদুটির গ.সা.গু । এখানে শেষ পর্যায়ে ভাজক রয়েছে 3 অর্থাৎ 15 ও 24 এর নির্ণেয় গ.সা.গু হলঃ 3

 

14. ল.সা.গু (Least Common Multiple) কাকে বলে?
উঃ দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাকে লঘিষ্ঠ সাসাধারণ গুণিতক বা সংক্ষেপে ল.সা.গু বলে।
যেমনঃ 3 এর গুণিতক হলঃ 3, 6, 9, 12, 18, 21…….আবার
6 এর গুণিতক হলঃ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ইত্যাদি ….
এখানে 3 ও 6 এর গুণিতকগুলির মধ্যে একই সংখ্যাগুলি হল বা সাধারণ গুণিতকগুলি হলঃ 6, 12, 18 এবং এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলঃ 6
∴ 3 ও 6 এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক হলঃ 6

15. গুণিতক (Multiple) কী?
উঃ কোনো সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায় সেই সংখ্যাগুলোকে ঐ সংখ্যার গুণিতক বলে।
যেমনঃ 2X2 = 4, 2X3 = 6 অর্থাৎ 2 এর গুণিতক হলঃ 4, 6, 8 ইত্যাদি ।
অন্যভাবে বলা যায় যদি কোন সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হয়, তাহলে ভাজ্য কে ভাজকের গুণিতক বলা হয় । যেমনঃ 6 অঙ্কটি 2 দ্বারা 9 অঙ্কটি 3 দ্বারা বিভাজ্য । এক্ষেত্রে 2 এর গুণিতক 6, এবং 3 এর গুণিতক হল 9 ।
আবারো অন্যভাবে বলা যায়, কোন সংখ্যার নামতা পড়ে যে সংখ্যাগুলো পাওয়া যায় বা সংখ্যাটিকে গুন করে যে সংখ্যাগুলো পাওয়া যায় সেগুলিকে ঐ সংখ্যার গুণিতক বলা হয় ।
যেমনঃ 2X2 = 4
2X3 = 6
2X4 = 8
2X5 = 10
2X6 = 12……………
2X100 = 200
এখানে 2 এর গুণিতক হল 4, 6, 8, 10, 12, 200 ইত্যাদি ।

16. সাধারণ গুণিতক (Common Multiple) বলতে কী বোঝায় ?
উঃ দুই বা ততোধিক সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের সময় যে সমস্ত গুণিতকগুলি ঐ দুই বা ততোধিক সংখ্যার গুণিতক হিসাবে একই হয় সেগুলিকে ঐ সংখ্যাগুচ্ছের সাধারণ গুণিতক বলা হয় ।
যেমনঃ
2X2 = 4
2X3 = 6
2X4 = 8
2X5 = 10
2X6 = 12
আবার
3X2 = 6
3X3 = 9
3X4 = 12
3X5 = 15
3X6 = 18
এখানে 2 ও 3 কে 6 ঘর পর্যন্ত গুণ করে 6 ও 12 সংখ্যাটিকে উভয় ক্ষেত্রেই পাওয়া গেছে । অর্থাৎ এখানে 2 ও 3 এর সাধারণ গুণিতক হল 6 ও 12 ।

ল.সা.গু ও গ.সা.গু সংক্রান্ত সূত্র…….

সমগ্র Topic PDF টি ডাউনলোড এর জন্য নিচের ছবিটি স্পর্শ করুনঃ

Math – 02 HCF & LCM

ধন্যবাদ

Spread the love
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

error: Content is protected !!